Question

已知直線l被兩平行直線2x-y+1=0和2x-y-3=0所截得的線段長為2，且直線l過點（1，0），求直線l的方程．

Answer 1

分析：設直線l與兩條平行線的交點分別為點P，Q．分類討論：
當直線l的斜率不存在時，取直線l：x=1．分別求出與兩條平行線的交點，再利用兩點間的距離驗證即可．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=k（x-1）（k≠2）．分別求出與兩條平行線的交點，再利用兩點間的距離公式解出即可．

解答：解：設直線l與兩條平行線的交點分別為點P，Q．
①直線l的斜率不存在時，取直線l：x=1．
聯立

x=1 2x-y+1=0

，解得

x=1 y=3

，得到交點P（1，3）；
聯立

x=1 2x-y-3=0

，解得

x=1 y=-1

，得到交點Q（1，-1）．
此時|PQ|=|-1-3|=4，不符合題意．
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=k（x-1）（k≠2）．
聯立

y=k(x-1) 2x-y+1=0

，解得

x= k+1 k-2 y= 3k k-2

．
∴P(

k+1

k-2

，

3k

k-2

)．
同理解得Q(

k-3

k-2

，

-k

k-2

)．
∴2=|PQ|=

( k+1 k-2 - k-3 k-2 )2+( 3k k-2 - -k k-2 )2

，
解得k=0或-

4

3

．
∴直線l的方程為y=0或y=-

4

3

(x-1)．
綜上可知：直線l的方程為y=0或4x+3y-4=0．

點評：本題考查了與兩條平行線的交點及其兩交點的距離、兩點間的距離公式、分類討論方法．