Question

已知函數f(x)=2sinxcosx-sin(

π

2

+2x)+1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求y=f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先根據二倍角公式和誘導公式將函數f（x）化簡為f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，即可求出答案．
（2）根據2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求出x的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx-sin(

π

2

+2x)+1=sin2x-cos2x+1=

2

sin(2x-

π

4

)+1．
所以函數f（x）的最小正周期為π，最大值為1+

2

（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

(k∈Z)
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)
得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

(k∈Z)
所以單調增區間[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；單調減區間[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

](k∈Z)．

點評：本題主要考查三角函數的化簡和最小正周期、單調區間的求法．這種題型要先對函數進行化簡再求解．