Question

定義在[-6，6]上的偶函數f（x）在區間[0，6]上是減函數，且f（3）=0，則不等式xf（x）＞0的解集是（　　）

A．[-6，6]

B．（-3，0）∪（3，6）

C．[-6，-3）∪（0，3）

D．（-3，3）

Answer 1

分析：利用函數f（x）是偶函數，且f（3）=0，得到f（-3）=0，然后利用函數f（x）在區間[0，6]上是減函數，得到函數在[-6，0]上為增函數，從而得到函數f（x）的取值，解不等式即可．

解答：解：∵函數f（x）是定義在[-6，6]上的偶函數，在區間[0，6]上是減函數，且f（3）=0
∴函數在[-6，0]上為增函數，且f（-3）=-f（3）=0，（如圖，直線只代表函數的單調性．）
∴當-3＜x＜3時，f（x）＞0，
當3＜x≤6或-6≤x＜-3時，f（x）＜0．
當x＞0時，不等式xf（x）＞0，等價為f（x）＞0．此時0＜x＜3．
當x＜0時，不等式xf（x）＞0，等價為f（x）＜0．此時-6≤x＜-3．
∴不等式xf（x）＞0的解集為 {x|-6≤x＜-3或0＜x＜3}．
故選C．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用數形結合是解決此類問題的關鍵．