Question

通過實驗研究，專家們發現：初中學生聽課的注意力指標數是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間，學生的興趣保持平穩的狀態，隨后開始分散．學生注意力指標數y隨時間x（分鐘）變化的函數圖象如圖所示（y越大表示學生注意力越集中）．當0≤x≤10時，圖象是拋物線的一部分，當10≤x≤20和20≤x≤40時，圖象是線段．
（1）當0≤x≤10時，求注意力指標數y與時間x的函數關系式；
（2）一道數學競賽題需要講解24分鐘．問老師能否經過適當安排，使學生在聽這道題時，注意力的指標數都不低于36．

Answer 1

分析：（1）由已知我們易得函數的類型，故可以利用待定系數法解答本題，由函數的圖象設出函數的解析式，將圖象上的點代入后易構造出一個關于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值，即可求出函數注意力指標數y與時間x的函數關系式；
（2）根據（1）中的函數解析式，我們可以求出學生在聽這道題時，注意力的指標數都不低于36的x的值，然后和24進行比較，即可得到結論．

解答：解：（1）當0≤x≤10時，設拋物線的函數關系式為y=ax²+bx+c，
由于它的圖象經過點（0，20），（5，39），（10，48），
所以

c=20 25a+5b+c=39 100a+10b+c=48.

解得，a=-

1

5

，b=

24

5

，c=20．
所以y=-

1

5

x2+

24

5

x+20，0≤x≤10．（6分）
（2）當20≤x≤40時，y=-

7

5

x+76．
所以，當0≤x≤10時，令y=36，
得36=-

1

5

x2+

24

5

x+20，
解得x=4，x=20（舍去）；
當20≤x≤40時，令y=36，得36=-

7

5

x+76，
解得x=

200

7

=28

4

7

．（13分）
因為28

4

7

-4=24

4

7

＞24，
所以，老師可以經過適當的安排，在學生注意力指標數不低于36時，講授完這道競賽題．

點評：本題考查的知識點是函數的圖象與圖象的變化，其中根據已知中函數的圖象，結合待定系數法，求出滿足條件的函數的解析式是解答本題的關鍵．