Question

已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x=4cosθ y=4sinθ

（θ為參數），直線l經過定點P（2，3），傾斜角為

π

3

．
（1）寫出直線l的參數方程和圓的標準方程；
（2）設直線l與圓相交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）把曲線C的參數方程利用同角三角函數的基本關系消去θ，化為普通方程為 x²+y²=16①，再依據條件求得直線l的參數方程．
（2）把直線的參數方程代人①得，t2+(2+3

3

)t-3=0 ③，可得t₁t₂=-3，再由|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|，求得結果．

解答：解：（1）把曲線C的參數方程為

x=4cosθ y=4sinθ

（θ為參數），利用同角三角函數的基本關系消去θ，化為普通方程為 x²+y²=16①，
直線l的參數方程為

x=2+tcos π 3  =2+ 1 2 t y=3+tsin π 3  =3+ 3 2 t

 ，(t為參數)  ②．
（2）把②代人①得，t2+(2+3

3

)t-3=0 ③，
設t₁，t₂是方程③的兩個實根，則t₁t₂=-3，所以|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=3．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，求直線的參數方程，參數的幾何意義，屬于基礎題．