Question

已知二次函數f（x）滿足條件：f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x
（1）求f（x）
（2）討論 f（|x|）=a（a∈R）的解的個數．

Answer 1

分析：（1）設出二次函數的解析式，根據條件f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，即可求出a、b、c．
（2）根據解析式 f（|x|）畫出圖象，根據圖象對a進行分類討論即可．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），∵f（0）=1，∴c=1．
∵f（x+1）=f（x）+2x，∴a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+2x，
∴2ax+a+b≡2x，∴

2a=2 a+b=0

，解得

a=1 b=-1

，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）由f（|x|）=x²-|x|+1=

x2-x+1，當x≥0時 x2+x+1，當x＜0時

，畫出圖象如圖所示，
再畫出函數y=a的圖象，用虛線表示．
∵f（|x|）=(|x|-

1

2

)2+

3

4

，∴f（|x|）≥

3

4

．
以下對a進行討論．
當 a＜

3

4

時，方程無解；
當a=

3

4

或a＞1時，方程有兩個解；
當a=1時方程有三個解；
 當

3

4

＜a＜1時，方程有四個解．

點評：本題考查了利用二次函數的解析式和圖象研究方程的根，根據二次函數的最小值和圖象恰當的對a進行分類討論是解決問題的關鍵．