Question

設an=

1•3•5…(2n-1)

2•4•6…2n

與bn=

1 2n+1

(n∈N*)
（1）計算a₁，a₂，a₃與b₁，b₂，b₃，比較a₁與b₁，a₂與b₂，a₃與b₃的大小；
（2）猜想a_n與b_n的大小，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用條件，分別代入計算，即可求得結論，并可比較大小；
（2）先猜想，再利用數學歸納法證明，關鍵是n=k+1，結論的證明．

解答：解：（1）a1=

1

2

，a2=

3

8

，a3=

5

16

，b1=

1 3

，b2=

1 5

，b3=

1 7

，a1＜b1，a2＜b2，a3＜b3．…（4分）
（2）猜想：an＜bn(n∈N*)，…（6分）     
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，已證．（7分）
②假設當n=k（k∈N^*）時a_k＜b_k，則n=k+1時，

ak+1= 1•3•5…(2k-1)•(2k+1) 2•4•6…(2k)•2(k+1) ＜ 1 2k+1 2k+1 2(k+1) = 2k+1 2(k+1) = 2k+1 4(k+1)2 = 2k+1 4k2+8k+4 bk+1= 1 2k+3 = 2k+1 (2k+1)(2k+3) = 2k+1 4k2+8k+3 ∵ 2k+1 4k2+8k+4 ＜ 2k+1 4k2+8k+3 ∴ak+1＜bk+1

即n=k+1時，結論成立
由①②可知，an＜bn(n∈N*)．（12分）

點評：本題考查學生的計算能力，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．