Question

已知函數f（x）滿足f（ax-1）=lg

x+2

x-3

（a≠0）
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（x）的定義域；
（3）是否存在實數a，使f（x）為奇函數或為偶函數？如果有，求出實數a的值，否則說明不存在的理由．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數的定義域及其求法,函數解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）運用換元法，令ax-1=t，解出x，代入函數式，即可得到；
（2）由

x+2

x-3

＞0，解得，x＞3或x＜-2，再討論a＞0，a＜0，即可得到f（x）的定義域；
（3）假設存在實數a，使f（x）為奇函數或為偶函數．則定義域關于原點對稱，即有3a-1-2a-1=0，解得a，再由奇偶性的定義，即可判斷．

解答： 解：（1）由于函數f（x）滿足f（ax-1）=lg

x+2

x-3

（a≠0），
則令ax-1=t，則x=

1+t

a

，即有f（t）=lg

1+2a+t

1-3a+t

，
即為f（x）=lg

x+1+2a

x+1-3a

；
（2）由

x+2

x-3

＞0，解得，x＞3或x＜-2，
當a＞0時，則t=ax-1＞3a-1，或t＜-2a-1；
當a＜0時，則t＜3a-1或t＞-2a-1．
故當a＞0時，f（x）的定義域為{x|x＞3a-1，或x＜-2a-1}；
當a＜0時，f（x）的定義域為{x|x＜3a-1，或x＞-2a-1}；
（3）假設存在實數a，使f（x）為奇函數或為偶函數．
則定義域關于原點對稱，即有3a-1-2a-1=0，解得，a=2，
則f（x）=lg

x+5

x-5

，f（-x）=lg

-x+5

-x-5

=lg

x-5

x+5

=-lg

x+5

x-5

=-f（x），
即有f（x）為奇函數．
則存在實數a=2，使f（x）為奇函數．

點評：本題考查函數的解析式的求法：換元法，考查函數的定義域的求法，注意分類討論，考查函數的奇偶性的判斷，屬于中檔題．