Question

已知直線l：x-ny=0（n∈N*），圓M：（x+1）²+（y+1）²=1，拋物線φ：y=（x-1）²，又l與M交于點A、B，l與φ交于點C、D，求．

Answer 1

解：設圓心M（-1，-1）到直線l的距離為d，則d²=．
又r=1，∴|AB|²=4（1-d²）=．
設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由?nx²-（2n+1）x+n=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=1．
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=，（y₁-y₂）²=（-）²=，
∴|CD|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（4n+1）（n²+1）．
∴===2．
分析：要求的值，必須先求它與n的關系，，由圓心到直線l的距離和圓的知識可知|AB|²=．設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由整理得nx²-（2n+1）x+n=0，由根與系數的關系可知|CD|²=（4n+1）（n²+1）．由此能夠求出的值．
點評：本題屬于解析幾何與數列極限的綜合題．要求極限，需先求，這就要求掌握求弦長的方法．