Question

設函數f(x)＝x²－mlnx，h(x)＝x²－x＋a．

(1)當a＝0時，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求實數m的取值范圍；

(2)當m＝2時，若函數k(x)＝f(x)－h(x)在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍；

(3)是否存在實數m，使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由a＝0，f(x)≥h(x)可得－mlnx≥－x 　　即　　1分 　　記，則f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等價于． 　　求得　　2分 　　當時；；當時，　　3分 　　故在x＝e處取得極小值，也是最小值， 　　即，故．　　4分 　　(2)函數k(x)＝f(x)－h(x)在[1，3]上恰有兩個不同的零點等價于方程x－2lnx＝a，[1，3]上恰有兩個相異實根．　　5分 　　(x)＝x－2lnx，則　　6分 　　當時，，當時， 　　g(x)在[1，2]上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數． 　　故　　8分 　　又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln3 　　∵g(1)＞g(3)，∴只需g(2)＜a≤g(3)， 　　故a的取值范圍是(2－2ln2，3－2ln3)　　9分 　　(3)存在m＝，使得函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性 　　，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．　　10分 　　若，則，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，不合題意；　　11分 　　若，由可得2x2－m＞0，解得x＞或x＜－(舍去) 　　故時，函數的單調遞增區間為(，＋∞) 　　單調遞減區間為(0，)　　12分 　　而h(x)在(0，＋∞)上的單調遞減區間是(0，)，單調遞增區間是(，＋∞) 　　故只需＝，解之得m＝　　13分 　　即當m＝時，函數f(x)和函數h(x)在其公共定義域上具有相同的單調性．　　14分