Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=SB，點E為AB的中點，點F為SC的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥CD；
（Ⅱ）求證：平面SCD⊥平面SCE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明EF⊥CD，而在正方形中CD∥AB，所以可以轉化為證明EF⊥AB，而EF與AB在同一個三角形中，只需證明△AFB是等腰三角形即可，而AF、BF分別是Rt△SAC、Rt△SBC斜邊SC上的中線，從而易得AF=BF，問題可以得到解決．
（Ⅱ），根據第一問的結論，已經證明了EF⊥CD，根據面面垂直的判定定理，只需再證明EF垂直于與CD相交的一條直線即可，而SC與EF有交點，因而首先考慮SC，在三角形SEC中，容易證明SE=EC，從而得到EF⊥SC，從而問題得到解決．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC、AF、BF、EF、
∵SA⊥平面ABCD
∴AF為Rt△SAC斜邊SC上的中線
∴AF=

1

2

SC（2分）
又∵ABCD是正方形∴CB⊥AB
而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA
∴CB⊥平面SAB∴CB⊥SB
∴BF為Rt△SBC斜邊SC上的中線
BF=

1

2

SC（5分）
∴△AFB為等腰三角形，EF⊥AB又CD∥AB∴EF⊥CD（7分）
（Ⅱ）由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE
∴SE=EC即△SEC是等腰三角形∴EF⊥SC
又∵SC∩CD=C∴EF⊥平面SCD又EF?平面SCE
∴平面SCD⊥平面SCE（12分）

點評：本題考查直線與直線的位置關系中的垂直問題以及面面關系中 的垂直問題，注意問題的轉化思想，以及前面問題的結論對于后面問題的解決的有利因素，即前面問題的結論可以作為后面問題 的條件直接使用，將會大大提高解題速度．