Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F作垂直于x軸的直線交此拋物線于A，B兩點，且|AB|=4．
（Ⅰ）  求此拋物線的方程；
（Ⅱ）若過點Q（2，0）的直線交拋物線于C，D兩點，若存在另一動點G，使得直線GC，GQ，GD的斜率依次成等差數列，試說明動點G一定在定直線上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過通經長為4，可得，p=2，進而求出拋物線的方程．
（Ⅱ）先設出過點Q（2，0）的直線方程，因為存在另一動點G，使得直線GC，GQ，GD的斜率依次成等差數列，分別求出直線GC，GQ，GD的斜率，再根據直線GC，GQ，GD的斜率依次成等差數列，找出等式，求解．

解答：解：（Ⅰ）∵過F作垂直于x軸的直線交此拋物線于A，B兩點，且|AB|=4．∴2p=4，p=2
∴拋物線的方程為y²=4x
（Ⅱ）設C（x₁，y₁），D（X₂，Y₂）
  設過點Q（2，0）的直線方程為x=ky+2，由

y2=4x x=ky+2

得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-8
   設G（x₀，y₀），k_GC+k_GD=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

ky1+(2 -x0)

+

y2-y0

ky2+(2 -x0)

=

-16k-4k2y0+4k(2-x0)- 2 (2-x0)y0

-8k2+4k2(2-x0)+ (2-x0)2

①
   k_GQ=2

y0

x0-2

②，
   化簡得x₀=-2
   所以動點G一定在定直線x₀=-2上．

點評：本題考查了拋物線與直線的位置關系，計算量較大，應認真對待．