Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若在定義域內單調遞增，求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在極大值點，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求出導函數(shù)，由恒成立，分離參數(shù)后轉化為求新函數(shù)（）的最值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用單調性計算的零點，得的極大值點，再研究函數(shù)值證得結論．

解：（Ⅰ）在定義域內單調遞增，

在恒成立，即在恒成立.

令，，則，當時，；當時，；

在上單調遞減，上單調遞增

.

，的取值范圍是.

（Ⅱ）存在極大值點，至少存在一個零點，由（Ⅰ）知，.

即函數(shù)的圖像與直線至少存在一個交點，

由（Ⅰ）知，在上單調遞減，上單調遞增，，

取，，在上存在一個零點.

由（Ⅰ）知，當時，在上單調遞增，，即，，

取，，在上存在一個零點，

即在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

，且，即.

，即.