Question

已知函數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸切于（1，0）點，則f（x）的極大值、極小值分別為

4

27

，0

．

Answer 1

分析：利用數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸切于點（1，0），確定方程，解出p、q的值，得出f（x）的解析式，求出導數，討論函數的增減性找出函數的極值即可．

解答：解：求導函數，可得f′（x）=3x²-2px-q
由函數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸切于點（1，0）得：p+q=1，3-2p-q=0，解出p=2，q=-1
則函數f（x）=x³-2x²+x，f′（x）=3x²-4x+1
令f′（x）=0得到：x=1或x=

1

3

①當x≤

1

3

時，f′（x）＜0，f（x）單調減，極值=f（

1

3

）=

4

27

②當x≥1時，f′（x）＞0，f（x）函數單調增，極值為f（1）=0
故比較大小得：f（x）的極大值為

4

27

，極小值為0．
故答案為：

4

27

，0．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與極值，屬于中檔題．