Question

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°．

(Ⅰ)證明AB⊥A₁C；

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB＝2，求直線(xiàn)A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解析　(Ⅰ)取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，，， 　　∵AB＝，＝，∴是正三角形， 　　∴⊥AB，∵CA＝CB，∴CE⊥AB，∵＝E，∴AB⊥面， 　　∴AB⊥；……6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB，⊥AB， 　　又∵面ABC⊥面，面ABC∩面＝AB，∴EC⊥面，∴EC⊥， 　　∴EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0750/0018/859251b0bfda9cdabae9f637d24efd6f/C/Image202.gif" width=13 HEIGHT=15>軸正方向，||為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 　　有題設(shè)知A(1，0，0)，(0，，0)，C(0，0，)，B(－1，0，0)，則＝(1，0，)，＝＝(－1，0，)，＝(0，－，)，……9分 　　設(shè)＝是平面的法向量， 　　則，即，可取＝(，1，－1)， 　　∴＝， 　　∴直線(xiàn)A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為．……12分

提示：

本題主要考查空間線(xiàn)面、線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定與性質(zhì)及線(xiàn)面角的計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，是容易題．