Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），點P（m，n）為拋物線上任意一點，其中m≥0．
（1）判斷拋物線與正比例函數的交點個數；
（2）定義：凡是與圓錐曲線有關的圓都稱為該圓錐曲線的伴隨圓，如拋物線的內切圓就是最常見的一種伴隨圓．此外還有以焦點弦為直徑的圓，以及以焦點弦為弦且過頂點的圓等．同類的伴隨圓構成一個圓系，圓系中有無數多個圓．求證：拋物線內切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數且m≥0）；
（3）請研究拋物線以焦點弦為直徑的伴隨圓，推導出其圓系方程，并寫出一個關于它的正確命題．

Answer 1

解：（1）設正比例方程為y=kx（k≠0），聯立
得到，
因此拋物線與正比例函數有兩個交點．（2分）
（2），
所以過點P的切線斜率為，
所以過改點的法線斜率為，
從而相應的法線方程為，
因為拋物線關于x軸對稱，
所以有其內切圓的圓心必在x軸上，令y=0得x=p+m，設內切圓的半徑為R，
則R²=（p+m-m）²+（0-n）²=p²+n²=p²+2pm
從而拋物線內切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數且m≥0）（6分）
（3）探究結論：拋物線以其焦點弦為直徑的伴隨圓系的方程為（k為參數且k≥0）（8分）
證明：設焦點弦AB所在直線方程為，與拋物線方成聯立便可以得到，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則；；
設伴隨圓圓心為（m，n），則，
設伴隨圓半徑為R
所以伴隨圓系方程為（11分）
命題：拋物線y²=2px（p＞0）以焦點弦為直徑的伴隨圓的圓心軌跡為拋物線．（13分）
分析：（1）設正比例方程為y=kx（k≠0），聯立，由此可知拋物線與正比例函數有兩個交點．
（2），所以過點P的切線斜率為，所以過改點的法線斜率為，從而相應的法線方程為，由此可知拋物線內切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數且m≥0）．
（3）探究結論：拋物線以其焦點弦為直徑的伴隨圓系的方程為（k為參數且k≥0）
然后再結合題設條件進行證明．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．