Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且對任意a，b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）證明：函數f（x）在[-1，1]上是增函數；
（2）如果函數g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c²）的定義域的交集是空集，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在函數f（x）的定義域內，利用單調性定義證明是增函數即可；
（2）根據g（x）、h（x）的定義域的交集是空集，可得不等式，從而解得c的取值范圍．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，即x₂+（-x₁）＞0，其中-x₁，x₂∈[-1，1]，
∴

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
又f（x）是[-1，1]上的奇函數，∴f（-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）；
所以函數f（x）在[-1，1]上是增函數．
（2）由題意，g（x）、h（x）的定義域可化為

-1≤x-c≤1 -1≤x-c2≤1

，化簡得

-1+c≤x≤c+1 -1+c2≤x≤1+c2

；
由條件知c+1＜-1+c²或1+c²＜-1+c，即c²-c-2＞0或c²-c+2＜0；
解得c＜-1或c＞2；
所以c的取值范圍是{c|c＜-1或c＞2}．

點評：本題考查了函數奇偶性的應用，單調性的判定等知識，是基礎題．