Question

f（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數，當x∈[0，π]時，y=f（x）=cosx，當x∈（π，2π]時，f（x）的圖象是斜率為，在y軸上截距為-2的直線在相應區間上的部分．
（1）求f（-2π），f（-）；
（2）求f（x），并作出圖象，寫出其單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意求得x∈（π，2π]時函數的解析式，進而求得f（2π）的值，然后利用函數的奇偶性求得f（-2π）的值．利用函數f（x）在∈[0，π]時的解析式求得f（）的值，然后利用函數的奇偶性求得f（-）的值．
（2）根據（1）可知函數的解析式，進而利用直線方程和余弦函數的單調性判斷出函數的單調區間．
解答：解：（1）當x∈（π，2π]時，y=f（x）=x-2，
又f（x）是偶函數，
∴f（-2π）=f（2π）=2．
又x∈[0，π]時，y=f（x）=cosx，
∴f（-）=f（）=．

（2）y=f（x）=
當x∈（π，2π]時，根據直線方程的單調性可知其為減函數；
當x∈[0，π]時，根據余弦函數的單調性可知為減函數；
當x∈[-π，0]時，根據余弦函數的單調性可知為增函數
當x∈[π，2π]時，函數的圖象為直線，斜率大于0，可知為增函數．
故調區間為[-2π，-π），[0，π），[-π，0]，[π，2π]．
點評：本題主要考查了余弦函數的圖象，函數的奇偶性的性質，函數的單調性和單調區間，以及分段函數的問題．注重了“雙基”能力的考查．