Question

某個體戶計劃經銷A、B兩種商品，據調查統計，當投資額為x（x≥0）萬元時，在經銷A、B商品中所獲得的收益分別為f（x）萬元與g（x）萬元、其中f（x）=a（x-1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投資額為零時，收益為零．
（1）試求出a、b的值；
（2）如果該個體戶準備投入5萬元經營這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值．（精確到0.1，參考數據：ln3≈1.10）．

Answer 1

解：（1）根據問題的實際意義，可知f（0）=0，g（0）=0
即：，
（2）由（1）的結果可得：f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）依題意，可設投入B商品的資金為x萬元（0＜x≤5），則投入A商品的資金為5-x萬元，若所獲得的收入為s（x）萬元，則有s（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5）∵s（x）=
當x＜2時，s′（x）＞0；當x＞2時，s′（x）＜0；
∴x=2是s（x）在區間[0，5]上的唯一極大值點，此時s（x）取得最大值：
S（x）=s（2）=6ln3+6≈12.6（萬元），此5-x=3（萬元）
答該個體戶可對A商品投入3萬元，對B商品投入2萬元，這樣可以獲得12.6萬元的最大收益．
分析：（1）由f（0）=0，g（0）=0求出a，b；（2）分配資金構造新的函數s（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5），再用導數法研究其單調性，從而得出最值．
點評：本題主要考查函數的實際應用．