Question

已知動點P到直線x=-1的距離與到定點C(

1

2

，  0)的距離的差為

1

2

．動點P的軌跡設為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設過點A（-4，0）的直線與曲線C交于E、F兩點，定點A'（4，0），求直線A'E、A'F的斜率之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，動點P到定點C(

1

2

，  0)的距離等于到定直線x=-

1

2

的距離，所以動點P的軌跡為拋物線，由此能求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）設過點A的直線方程為y=k（x+4）（k≠0）．聯立方程組

y=k(x+4) y2=2x

，得

k

2

y2-y+4k=0，由此能夠求出直線A′E、A′F的斜率之和．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，動點P到定點C(

1

2

，  0)的距離等于到定直線x=-

1

2

的距離，
所以動點P的軌跡為拋物線，
且

p

2

=

1

2

，
P=1．
所以點P的軌跡方程為y²=2x．…（6分）
（Ⅱ）設過點A的直線方程為y=k（x+4）（k≠0）．
聯立方程組

y=k(x+4) y2=2x

，
消去x，得

k

2

y2-y+4k=0．…（8分）
設E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），
則y₁•y₂=8，且y₁²=2x₁，y₂²=2x₂．
∵kA′E=

y1

x1-4

，kA′F=

y2

x2-4

，
∴kA′E+kA′F=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

y1x2-4y1+y2x1-4y2

(x1-4)(x2-4)

=

y1 y 2 2 2 -4y1+y2 y 2 1 2 -4y2

(x1-4)(x2-4)

=

(y1+y2)( y1 y   2 2 -4)

(x1-4)(x2-4)

．
由y₁•y₂=8，得k_A'E+k_A'F=0．…（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．