Question

已知圓C經過坐標原點O，A（6，0），B（0，8）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（-2，0）的直線l和圓C的相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，圓C的圓心為線段OA、OB中垂線的交點，求得圓心的坐標；再由原點O在圓上，求得圓的半徑，從而得到圓C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線x=-2與圓C相切．當直線l不與x軸垂直時，用點斜式設l的方程，再根據圓心到直線的距離等于半徑求得斜率k的值，從而求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，圓C的圓心為線段OA、OB中垂線的交點，
即為直線x=3，y=4的交點，
∴圓心為（3，4）．
又原點O在圓上，
∴圓的半徑r=

32+42

=5．
∴圓C的方程為（x-3）²+（y-4）²=25．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線x=-2與圓C相切．
當直線l不與x軸垂直時，
設l的方程為y=k（x+2），
即kx-y+2k=0，
∴

|3k-4+2k|

k2+1

=5，
解這個方程得 k=-

9

40

，
∴此時直線l的方程為y=-

9

40

(x+2)，
即9x+40y+18=0．
∴直線l的方程是x=-2，或9x+40y+18=0．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，求圓的標準方程，求圓的切線方程，屬于中檔題．