Question

已知定義在區間上的函數y=f（x）的圖象關于直線對稱，當時，函數f（x）=sinx．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求y=f（x）的函數表達式；
（Ⅲ）如果關于x的方程f（x）=a有解，那么將方程在a取某一確定值時所求得的所有解的和記為M_a，求M_a的所有可能取值及相對應的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中定義在區間上的函數y=f（x）的圖象關于直線對稱，我們易得，，結合當時，函數f（x）=sinx，即可求出答案．
（II）根據已知中在區間上的函數y=f（x）的圖象關于直線對稱，當時，函數f（x）=sinx．我們可根據函數圖象對稱變換法則求出函數在區間上的解析式，進而得到y=f（x）的函數表達式；
（Ⅲ）作函數f（x）的圖象，分析函數的圖象得到函數的性質，分類討論后，結合方程在a取某一確定值時所求得的所有解的和記為M_a，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）
…（4分）
（Ⅱ）∵函數y=f（x）的圖象關于直線對稱，
又∵當時，函數f（x）=sinx．
∴當時，

f（x）=…（8分）
（Ⅲ）作函數f（x）的圖象（如圖），顯然，若f（x）=a有解，則a∈[0，1]
①，f（x）=a有解，M_a=②，f（x）=a有三解，M_a=
③，f（x）=a有四解，M_a=π
④a=1，f（x）=a有兩解，M_a=…（12分）
點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法--圖象變換法，根的存在性及根的個數的判斷，其中根據已知函數y=f（x）的圖象關于直線對稱，當時，函數f（x）=sinx．根據對稱變換法則，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．