Question

直角△ABC的三個頂點在半徑為13的球面上，球心為O，直角△ABC兩直角邊的長分別為6和8，則三棱錐O-ABC的體積為

96

．

Answer 1

分析：由題意，直角△ABC外接圓為平面ABC與球O相交被截得的小圓，該小圓的直徑等于AB長，而三棱錐O-ABC的高就是AB中點與球心的連線段．因此，不難用勾股定理求出AB長，進而求出三棱錐O-ABC的高，用錐體體積公式得出三棱錐O-ABC的體積．

解答：解：設直角△ABC兩直角邊的長AC=6，BC=8，
∴AB=

62+82

=10，且AB是直角△ABC外接圓的直徑
∵直角△ABC的三個頂點在同一球面上，
∴平面ABC截球O得小圓，該小圓半徑為r=

1

2

AB=5
設AB中點（即小圓圓心）為D，連接OD、OA、OB、OC
∵OD⊥平面ABC
∴Rt△OAD中，OD=

AO2-AD2

=

132-52

=12
因此，三棱錐O-ABC的體積為V=

1

3

S_△ABC×OD=

1

3

×

1

2

×6×8×12=96
故答案為：96

點評：本題給出以球心為頂點且底直角三角形的三個頂點都在球面上的三棱錐，求該棱錐的體積，著重考查了球的截面圓性質和錐體體積公式等知識，屬于基礎題．