Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為

8的正方形（記為Q）．

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）過點P的直線與橢圓C相交于

M,N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q內

（包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

解: （Ⅰ）依題意，設橢圓C的方程為焦距為，

由題設條件知， 所以

     故橢圓C的方程為                               _{---------------4分}

   （Ⅱ）顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。             

    如圖，設點M，N的坐標分別為

線段MN的中點為G，由

得．  ……①              _{---------------6分}

由_，得．②_{-------------7分}

因為是方程①的兩根，所以，

于是    =，     ．                                       _{-------------9分}

因為，所以點G不可能在軸的右邊，

又直線,方程分別為

所以點在正方形內（包括邊界）的充要條件為

即  亦即              _{----------12分}

解得，此時②也成立．

故直線斜率的取值范圍是                   _{-------------14分}