Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（Ⅰ）求實數a的值，使y=f（x）在其定義域[-5，5]上是偶函數；
（Ⅱ）求實數a的取值范圍，使y=f（x）在區間[-5，5]上是單調函數；
（Ⅲ）若函數f（x）的值域是[1，37]，試求實數a的值．

Answer 1

分析：（I）由f（x）是偶函數，知f（-x）=f（x） 對任意x成立，可得a的值；
（Ⅱ）由f（x）的圖象是拋物線，且開口向上，區間[-5，5]在對稱軸一側時為單調函數，從而得a的取值范圍；
（Ⅲ）根據f（x）在區間[-5，5]上的單調性，討論f（x）在[-5，5]上的最值，從而求得a的值．

解答：解：（I）依題意，f（x）在[-5，5]上是偶函數，∴f （-x）-f （x）=[（-x²）-2ax+2]-（x²+2ax+2）=-4ax=0
 對任意x∈[-5，5]成立，∴a=0；
∴當a=0時，y=f （x）在定義域[-5，5]上是偶函數；
（Ⅱ）∵函數f（x）=x²+2ax+2的圖象是拋物線，且開口向上，對稱軸為x=-a；
∴當-a≥5，即a≤-5時，f（x）圖象在對稱軸的左側，函數是減函數；
當-a≤-5，即a≥5時，f（x）圖象在對稱軸的右側，函數是增函數；
所以f （x）在區間[-5，5]上是單調函數時，a的取值范圍是：{a|a≤-5，或a≥5}．
（Ⅲ）當-a≤-5，即a≥5時，函數f（x）在[-5，5]上是增函數，
∴

f(x)max=f(5)=27+10a=37得a=1 f(x)min=f(-5)=27-10a=1得a=2.6

，不滿足條件；
當-5＜-a≤0，即0≤a＜5時，函數f（x）在[-5，5]上是先減后增，
∴

f(x)max=f(5)=27+10a=37得a=1 f(x)min=f(-a)=2-a2=1得a=±1

，∴a=1；
當0＜-a＜5，即-5＜a＜0時，函數f（x）在[-5，5]上也是先減后增，
∴

f(x)max=f(-5)=27-10a=37得a=-1 f(x)min=f(-a)=2-a2=1得a=±1

，∴a=-1；
當-a≥5，即a≤-5時，函數f（x）在[-5，5]上是減函數，
∴

f(x)max=f(-5)=27-10a=37得a=-1 f(x)min=f(5)=27+10a=1得a=-2.6

，不滿足條件；
綜上，所求實數a的值為：a=±1．

點評：本題考查了二次函數在閉區間上的單調性與最值問題，當二次函數圖象的對稱軸不確定時，需要討論對稱軸在區間內、還是區間外．