Question

（2010•杭州模擬）已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數，且其圖象上相鄰的一個最高點和最低點之間的距離為

4+π2

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若 sinα+f（α）=

2

3

，求

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）為偶函數，其圖象上相鄰的一個最高點和最低點之間的距離，確定函數的周期，求出ω，確定?的值，求出f（x）的解析式；
（2）把上一問求出的結果代入函數的解析式，得到角的正弦與余弦的和，用誘導公式和二倍角公式把所給的式子進行整理，根據同角的三角函數之間的關系得到結果．

解答：解：（1）∵f（x）為偶函數，∴sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
2sinωxcosφ=0恒成立
∴cosφ=0
又0≤φ≤

π

2

，
∴φ=

π

2

．其圖象上相鄰的一個最高點和最低點之間的距離為

4+π2

，
設其最小正周期為T，則

T

2

=

4+π2-22

=π，
∴T=2π，∴ω=1，
∴f（x）=cosx
（2）∵原式=

sin2α-cos2α+1

1+tanα

=

2sinαcosα+2sin2α

1+ sinα cosα

=2sinαcosα，又sinα+cosα=

2

3

，
∴1+2sinαcosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

5

9

，
∴原式=-

5

9

點評：本題是中檔題，考查函數解析式的求法，誘導公式和二倍角的應用，考查計算能力，根據角的范圍求出三角函數值是本題的解題依據．