Question

已知，在水平平面α上有一長方體AC₁繞BC旋轉90°得到如圖1所示的幾何體．
（Ⅰ）證明：平面BCD₁A₁⊥平面BCD₂A₂；
（Ⅱ）當BC=1時，且長方體AC₁體積為4時，求四棱錐A₁-BCD₂A₂體積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證平面BCD₁A₁⊥平面BCD₂A₂，只需在平面BCD₁A₁內找一直線垂直平面BCD₂A₂，而A₁B⊥BA₂，BC⊥A₁B，BC∩BA₂=B，滿足線面垂直的判定定理，從而A₁B⊥平面BCD₂A₂，A₁B?平面BCD₁A₁，滿足面面垂直的判定定理；
（II）設AB=a，AA₁=b，四棱錐A₁-BCD₂A₂的體積為V，根據長方體AC₁的體積為4，則ab=4，然后利用基本不等式求出最小值，即可求出所求，注意等號成立的條件．
解答：證明（I）證明：∵△A₁BB₁≌△EBA₂，
∴∠A₁BB₁=∠BA₂E，
∵∠BA₂E+∠EBA₂=90°，
∴∠A₁BB₁+∠EBA₂=90°，
即 A₁B⊥BA₂
又∵BC⊥A₁B（2分）
∵BC∩BA₂=B
∴A₁B⊥平面BCD₂A₂，（4分）
又∵A₁B?平面BCD₁A₁（5分）
∴平面BCD₁A₁⊥平面BCD₂A₂（6分）
（II）設AB=a，AA₁=b，四棱錐A₁-BCD₂A₂的體積為V，
∵長方體AC₁的體積為4，
∴ab=4，（7分）
由（1）知，A₁B⊥平面BCD₂A₂，
∴=，（10分）
當且僅當a=b=2時，等號成立，（11分）
所以四棱錐A₁-BCD₂A₂的體積的最小值為．（12分）
點評：本題主要考查了面面垂直的判定，以及錐體的體積的度量，同時考查了論證推理能力，屬于中檔題．