Question

如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿對角線AC將△ABC折起，使平面ABC與平面ACD互相垂直．
（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求點C到平面ABD的距離；
（3）在BD上是否存在一點P，使CP⊥平面ABD，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC考慮取AC的中點M，則有BM⊥AC，由已知平面ABC⊥平面ACD可得BM⊥平面ACD進而有BM⊥CD，結合直線與平面垂直的判定定理可證
（2）利用等體積，根據V_B-ACD=V_C-ABD，代入已知數據可求點C到平面ABD的距離
（3）假設存在滿足條件的P，使得CP⊥平面ABD則CP⊥BD，由BC=CD=a 可得P為DB的中點，從而通過計算可得AP⊥CP，根據直線與平面垂直的判定定理可得存在符合條件的點P

解答：解：（1）取AC的中點M，因為AB=AC，所以BM⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACD，∴BM⊥平面ACD，∴BM⊥CD
∵AB=BC=CD=a，∠B=

π

2

∴∠BAC=∠BCA=

π

4

∵∠BCD=

3π

4

，∴∠ACD=

π

2

，即AC⊥CD
∵AC∩BM=M∴CD⊥平面ABC∴CD⊥AB
∵AB⊥BC且BC∩CD=C
AB⊥平面BCD
（2）由（1）知BA為B到平面ACD的距離，且BM=

2

2

a
設點C到平面ABD的距離h
由已知可得AC=

2

a，∠ACD=

π

2

，由（1）可得∠AMD=

π

2

，從而可得AD=

AM2+ DM2

=

2

a
根據等體積可得

1

3

×

1

2

×BM×SACD=

1

3

×

1

2

×SABD×h
∴

2 a

2

×

2

a×a=a×

2

a×h
h=

2

2

a
點C到平面ABD的距離

2

2

a
（3）假設存在滿足條件的P，使得CP⊥平面ABD
則CP⊥BD①，∵BC=CD=a∴P為DB的中點
而此時CP=

2 a

2

，AP=

6 a

2

，AC=

2

a，則AC²=AP²+CP²
∴AP⊥CP②由①②根據直線與平面垂直的判定定理可得此時的P滿足條件，
故存在P為BD的中點

點評：本題體主要考查了“線線垂直”與“線面垂直”的相互轉化，其理論依據是直線與平面垂直的判定定理與性質定理，而利用換頂點求三棱錐的體積進而求高是在求解點到面的距離時常用的方法．