Question

已知函數f(x)=log2(2-x-1)．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性和單調性．
（Ⅱ）若f（x）＜0，求x的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2^-x-1＞0，可得函數的定義域為（-∞，0），不關于原點對稱，可得f（x）為非奇非偶函數．再根據函數t=2^-x-1在定義域（-∞，0）上是減函數，
y=log₂t，根據復合函數的單調性，可得f（x）的單調性．
（Ⅱ）若f（x）＜0，根據 f（-1）=0，且函數f(x)=log2(2-x-1)在定義域（-∞，0）上是減函數，可得x＞-1，再結合函數的定義域，確定x的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由2^-x-1＞0，可得x＜0，故函數的定義域為（-∞，0），不關于原點對稱，故f（x）為非奇非偶函數．
由于函數t=2^-x-1=

1

2x

-1在定義域（-∞，0）上是減函數，根據復合函數的單調性，
函數f(x)=log2(2-x-1)在 定義域（-∞，0）上是減函數．
（Ⅱ）若f（x）＜0，∵f（-1）=log₂（2-1）=0，函數f(x)=log2(2-x-1)在定義域（-∞，0）上是減函數，∴x＞-1．
再結合函數的定義域為（-∞，0），可得所求的x的范圍為（-1，0）．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判斷和正明，利用單調性解不等式，屬于中檔題．