Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P（2，

3

），點F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設l₁，l₂是過點G（

3

2

，0）且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A、B兩點，l₂交E于C、D兩點，求l₁的斜率k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設AB，CD的中點分別為M，N，求證：直線OM與直線ON的斜率之積為定值（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P（2，

3

），點F₂在線段PF₁的中垂線上，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設出直線l₁，l₂的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根的判別式，即可確定l₁的斜率k的取值范圍；
（3）利用韋達定理，確定M，N的坐標，從而確定直線的斜率，即可得到結論．

解答：解：（1）由橢圓E的離心率e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

，
∵點F₂在線段PF₁的中垂線上，∴|F₁F₂|=|PF₂|
∵F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∴（2c）²=（2-c）²+（

3

）²
解得c=1，a²=2，b²=1
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在并不為零，
∴l(xiāng)₁：y=k（x-

3

2

），∴l(xiāng)₂：y=-

1

k

（x-

3

2

）
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-  3 2 )

消去y并化簡整理，得（1+2k²）x²-6k²x+

9

2

k²-2=0，
根據(jù)題意，△=（-6k²）²-4（1+2k²）（

9k2

2

-1）＞0
∴k²＜4
同理（-

1

k

）²＜4，∴k²＞

1

4

，∴

1

4

＜k²＜4
∴k∈（-2，-

1

2

）∪（

1

2

，2）；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則x₁+x₂=

6k2

1+2k2

∴x₀=

x1+x2

2

=

3k2

1+2k2

，∴y₀=k（x₀-

3

2

）=-

3k

2(1+2k2)

∴M（

3k2

1+2k2

，-

3k

2(1+2k2)

）
同理N（

3

k2+2

，

3k

2(k2+2)

）
∴k_OM•k_ON=-

1

2k

×

k

2

=-

1

4

，
即直線OM與直線ON的斜率之積為定值為-

1

4

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線恒過定點，考查學生分析解決問題的能力，正確運用韋達定理是關鍵．