Question

設函數f（x）=sinx+x²⁰¹³，令f₁（x）=f′（x），是f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N⁺），則f₂₀₁₃=

cosx+2013!

．

Answer 1

分析：分別求出函數的導數，通過觀察每個式子的特點尋找出規律，根據歸納推理得到結果．

解答：解：由題意可知：f1(x)=f′(x)=cos?x+2013?x2012，
f2(x)=f1′(x)=-sin?x+2013?2012x2011，
f3(x)=f2′(x)=-cos?x+2013?2012?2011x2010，
f4(x)=f3′(x)=sin?x+2013?2012?2011?2010x2009，
f5(x)=f4′(x)=cos?x+2013?2012?2011?2010?2009x2008，
所以根據歸納推理可知，
f₂₀₁₃（x）=f₂₀₁₂'（x）=cos?x+2013?2012???1=cos?x+2013!，
故答案為：cosx+2013!．

點評：本題主要考查導數的運算以及歸納推理的應用，考查學生的運算能力，綜合性較強．