Question

已知角α的終邊上一點(diǎn)M（x，y）滿足

x+y-3≤0 y- 1 2 x≥0 x-1≥0

，則μ=tanα+

1

tanα

的取值范圍為

[2，

5

2

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件畫出如圖可行域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部的區(qū)域．M（x，y）為區(qū)域內(nèi)部一點(diǎn)，k=

y

x

表示M、O連線的斜率，運(yùn)動點(diǎn)M得到MO斜率的最大、最小值，得到

1

2

≤k≤2．而μ=tanα+

1

tanα

=k+

1

k

，利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，即可求出μ的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x+y-3≤0 y- 1 2 x≥0 x-1≥0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部的區(qū)域
其中A（1，

1

2

），B（1，2），C（2，1）
M（x，y）為區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)，可得
k=

y

x

表示M、O連線的斜率，
運(yùn)動點(diǎn)M，可得當(dāng)M與A點(diǎn)或B點(diǎn)重合時(shí)，k=

1

2

達(dá)到最小值；
當(dāng)M與C點(diǎn)重合時(shí)，k=2達(dá)到最大值，即

1

2

≤k≤2
又∵μ=tanα+

1

tanα

=k+

1

k

≥2

k• 1 k

=2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號
∴當(dāng)k=1時(shí)，μ有最小值為2；當(dāng)k=

1

2

或時(shí)，μ有最大值為

5

2

．
因此μ=tanα+

1

tanα

的取值范圍為[2，

5

2

]
故答案為：[2，

5

2

]

點(diǎn)評：本題給出二元一次不等式組和角α的終邊上一點(diǎn)M（x，y），求μ=tanα+

1

tanα

的取值范圍．著重考查了直線的斜率公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和函數(shù)最值求法等知識，屬于中檔題．