Question

設二次函數g（x）的圖象在點（m，g（m））的切線方程為y=h（x），若f（x）=g（x）-h（x）
則下面說法正確的有：

 

．
①存在相異的實數x₁，x₂使f（x₁）=f（x₂）成立；
②f（x）在x=m處取得極小值；
③f（x）在x=m處取得極大值；
④不等式|f(x)|＜

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的解集非空；
⑤直線 x=m一定為函數f（x）圖象的對稱軸．

Answer 1

分析：設g（x）=ax²+bx+c，（a≠0）然后求出在點（m，g（m））的切線方程為y=h（x），從而得到f（x）的解析式，根據二次函數的性質可得結論．

解答：解：設g（x）=ax²+bx+c，（a≠0）則g（x）′=2ax+b，
∴g（m）′=2am+b則在點（m，g（m））的切線方程為 h（x）-g（m）=（2am+b）（x-m）即 h（x）=（2am+b）x-am²+c，
∴f（x）=ax²+bx+c-（2am+b）x+am²-c=ax²-2amx+am²=a（x-m）²，
∴f（x）是二次函數，關于x=m對稱，故⑤正確；
當x₁，x₂關于x=m對稱時，f（x₁）=f（x₂）成立，故①正確；
當a＜0時，在x=m處取得極大值，故②不正確；
當a＞0時，在x=m處取得極小值，故③不正確；
x=m時f（x）=0，滿足|f(x)|＜

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，故④正確；
故答案為：①④⑤．

點評：本題主要考查了二次函數的極值，以及二次函數的性質，利用導數研究在曲線某點處的切線方程，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．