Question

已知正整數集合A={a₁,a₂,a₃,a₄},B={a₁²,a₂²,a₃²,a₄²},其中a₁＜a₂＜a₃＜a₄,A∩B={a₁,a₄},且a₁+a₄=10，A∪B中所有元素之和為124，求A.

Answer 1

思路分析：如何由A∩B={a₁,a₄},a₁+a₄=10確定a₁,a₄呢？依題意，a₁是最小的正整數，且a₁,a₄必是某兩數的平方，顯然a₁=a₁²,進而求出a₄.知道了a₁,a₄,如何求a₂,a₃呢？由a₁=1,a₄=9知，3∈A.于是要對a₂=3或a₃=3進行討論，這就需利用條件A∪B中所有元素之和為124.

解：因為A∩B={a₁,a₄},所以a₁,a₄必是某兩個正整數的平方，而a₁＜a₂＜a₃＜a₄，顯然a₁=a₁²,a₁=1,由a₁+a₄=10得a₄=9,從而3∈A.

①若a₂=3,依題意有,

1+3+a₃+9+a₃²+81=124,

解得a₃=5或a₃=-6(舍去）.

②若a₃=3,依題意有,

1+a₂+3+9+a₂²+81=124,

解得a₂=5或a₂=-6(舍去).

此時a₂=5＞a₃=3,與題設矛盾.

綜上所述,A={1，3，5，9}.