Question

【題目】如圖所示，正三角形所在平面與梯形所在平面垂直， ， ， 為棱的中點.

（1）求證: 平面；

（2）求證： 平面；

（3）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】【試題分析】（1）運用線面平行的判定定理進行推證；（2）依據題設運用線面垂直的判定定理進行推證；（3）先建立空間直角坐標系，再運用向量的數量積工具進行求解：

（1）如圖，取中點，連接，因為為中點，所以且， ，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以.

平面， 平面，∴平面.

（2）又因為為正三角形，所以，

又因為面面，面面. 面，

所以面， .又因為，所以面，所以面.

（3）

取中點，再連接.易證面，所以為直線與平面所成的角，即，設，可求得.

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ， ，

所以，

設平面的法向量為，則，令，得

，所以，

設面的法向量為，則，令，得， ，

所以，所以，

因為二面角為鈍角，其余弦值為.