Question

已知函數f(x)=x²-2ax-2alnx（x＞0，a∈R），g(x)=ln²x+2a²+，
（Ⅰ）證明：當a＞0時，對于任意不相等兩個正實數x₁、x₂，均有；
（Ⅱ）記，
（ⅰ）若y=h′(x)在[1，+∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（ⅱ）證明：h(x)≥。

Answer 1

（Ⅰ）證明：，
，
，
則， ①
，
則，②
由①②知．
（Ⅱ）解：（�。�，
，
令，則y=F（x）在[1，+∞)上單調遞增，
，
則當x≥1時，恒成立，
即當x≥1時，恒成立，
令，則當x≥1時，，
故在[1，+∞)上單調遞減，
從而，故。
（ⅱ），
令，則，
令，則，
顯然Q（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
則，則，
故．