Question

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直, AA1=AB=AC=1,AB⊥AC, M是CC1的中點, N是BC的中點,點P在線段A1B1上,且滿足A1P=lA1B1.

(1)證明：PN⊥AM.

(2)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角最大值的正切值．

 (3)是否存在點P,使得平面 PMN與平面ABC所成的二面角為45°.若存在求出l的值,若不存在,說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）(tan θ)max＝2；（3）不存在.

【解析】第一問中利用以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系

設為平面的法向量，又正方體的棱長為1，

借助于，得到結論

第二問中，平面ABC的一個法向量為n＝(0,0,1),

則sin θ＝＝ (*)

而θ∈[0,],當θ最大時,sin θ最大,tan θ最大(θ＝除外),

由(*)式,當λ＝時,(sin θ)max＝,(tan θ)max＝2  

第三問中，平面ABC的一個法向量為n (0,0,1).設平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z),

由(1)得＝(λ,－1,)．

由求出法向量，然后結合二面角得到解得λ＝－.

 

 

 (1)證明　如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A－xyz.則P(λ,0,1),N(,,0),

從而＝(－λ, ,－1),＝(0,1, )．

\＝(－λ)×0＋×1－1×＝0,

∴PN⊥AM.                                             -------------4分

(2)解　平面ABC的一個法向量為n＝(0,0,1),

則sin θ＝＝ (*)

而θ∈[0,],當θ最大時,sin θ最大,tan θ最大(θ＝除外),

由(*)式,當λ＝時,(sin θ)max＝,(tan θ)max＝2        -----------6分

(3)平面ABC的一個法向量為n (0,0,1).設平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z),

由(1)得＝(λ,－1,)．

由

令x＝3,得m＝(3,2λ＋1,2(1－λ))．

∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,

∴|cos〈m,n〉|＝＝＝,解得λ＝－.

故在線段A1B1上不存在點P                                         --------------6分