Question

如圖，在△ABC中，設，，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵在△ABC中，設，，
AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
=，=，，消去，
∵，
可得=（）+=×++，
可得=+=λ+μ，
∴；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，
∵得=+，
∴；
分析：（Ⅰ）已知AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．可得=，=，，消去，，即可求解；
（Ⅱ）AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM其面積和三角形ABC的面積可以用公式s=，這個公式進行求解，再根據（Ⅰ）的結論很容易進行求解；
點評：此題主要考查向量中點的應用以及三角形面積公式的應用，本題涉及三角形中位線定理，以及向量中點的巧妙應用，是一道好題；