Question

已知球O的半徑為2cm，A、B、C為球面上三點，A與B、B與C的球面距離都是πcm，A與C的球面距離為

4π

3

cm，那么三棱錐O-ABC的體積為（　　）

• A、

  2 3

  3

  cm³
• B、2

  3

  cm³
• C、

  4 3

  3

  cm³
• D、4

  3

  cm³

Answer 1

分析：由題設

AB

，

BC

所對的球心角都是

π

2

，

AC

所對的球心角為

2π

3

，OA，OB，OC的長度都是半徑，可作出如圖的三棱錐，依據圖形求體積．

解答：解：由題設

AB

，

BC

所對的球心角都是

π

2

，

AC

所對的球心角為

2π

3

，
OA，OB，OC的長度都是半徑，可作出如圖的三棱錐，
由圖知V_O-ABC=V_B-AOC=

1

3

×OB×

1

2

OA×OC×cos∠AOC=

1

3

×2×

1

2

×2×2×cos

2π

3

=

2 3

3

cm³
故應選A．

點評：本題考查求三棱錐的體積，解題過程中用到了換頂點的技巧，換頂點的目的是為了更方便用體積公式求值，立體幾何中求體積時注意使用這一技巧．