Question

甲，乙兩隊各有3名隊員，投籃比賽時，每個隊員各投一次，命中率均為

1

2

，
（1）設前n（n=1，2，3，4，5，6）個人的進球總數與n之比為a_n，求滿足條件a₆=

1

2

，且a_n≤

1

2

（n=1，2，3，4，5）的概率；
（2）設甲，乙兩隊進球數分別為i，j（i，j∈{0，1，2，3}），記ξ=|i-j|，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）a₆=

1

2

，即6個人投籃進了3個球，又a_n≤

1

2

（n=1，2，3，4，5），則有兩種情況：第一，第1人投籃沒投進，第2人投籃投進了，第3人投籃沒投進，第4、5人總共投進了1個球，第6人投籃投進了，求出概率P₁，第二，第1人投籃沒投進，第2人投籃沒投進，第3、4、5人總共投進了2個球，第6人投籃投進了，求出概率為P₂，根據互斥事件的概率公式可求出所求概率為P=P₁+P₂；
（2）ξ的取值可能為0，1，2，3，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（1）a₆=

1

2

，即6個人投籃進了3個球，
又a_n≤

1

2

（n=1，2，3，4，5），則有兩種情況：
第一，第1人投籃沒投進，第2人投籃投進了，第3人投籃沒投進，第4、5人總共投進了1個球，第6人投籃投進了，其概率為P₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

×C₂¹（

1

2

）²×

1

2

=

1

32

第二，第1人投籃沒投進，第2人投籃沒投進，第3、4、5人總共投進了2個球，第6人投籃投進了，其概率為P₂=

1

2

×

1

2

×C₃²（

1

2

）³×

1

2

=

3

64

從而，所求概率為P=P₁+P₂=

5

64

（2）ξ的取值可能為0，1，2，3
P（ξ=0）表示兩隊進球數相同，即有
P（ξ=0）=（

1

2

）³×（

1

2

）³+C₃¹（

1

2

）³×C₃¹（

1

2

）³+C₃²（

1

2

）³×C₃²（

1

2

）³+（

1

2

）³×（

1

2

）³=

5

16

P（ξ=1）=2[（

1

2

）³×C₃¹（

1

2

）³+C₃¹（

1

2

）³×C₃²（

1

2

）³+C₃²（

1

2

）³×（

1

2

）³]=

15

32

P（ξ=2）=2[（

1

2

）³×C₃²（

1

2

）³+C₃¹（

1

2

）³×（

1

2

）³]=

3

16

P（ξ=3）=2[（

1

2

）³×（

1

2

）³]=

1

32

ξ	0	1	2	3
P	5 16	15 32	3 16	1 32

∴Eξ=0×

5

16

+1×

15

32

+2×

3

16

+3×

1

32

=

15

16

點評：本題主要考查了n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，以及離散型隨機變量的期望和分布列，同時考查了計算能力和分類討論的數學思想，屬于中檔題．