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已知函數f（x）=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3
．
（Ⅰ）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；
（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數f（x）的值域．
分析：（1）先將函數f（x）化簡為：f(x)=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
(1+cos
2x
3
)=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2
=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
，
令sin(
2x
3
+
π
3
)=0，可得答案．
（2）由b2=ac，有根據余弦定理可得cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，所以可得x∈(0，
π
3
]，f（x）值域為(
3
，1+
3
2
]．得到答案．
解答：解：f(x)=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
(1+cos
2x
3
)=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2
=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
，
（Ⅰ）由sin(
2x
3
+
π
3
)=0
即
2x
3
+
π
3
=kπ(k∈z)得x=
3k-1
2
π，k∈z，
即對稱中心的橫坐標為
3k-1
2
π，k∈z；
（Ⅱ）由已知b2=ac，cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，
∴
1
2
≤cosx＜1，  0＜x≤
π
3
，  
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9

∵|
π
3
-
π
2
|＞|
5π
9
-
π
2
|，∴sin
π
3
＜sin(
2x
3
+
π
3
)≤1，∴
3
＜sin(
2x
3
+
π
3
)≤1+
3
2
，
即f（x）的值域為(
3
，1+
3
2
]，
綜上所述，x∈(0，
π
3
]，f（x）值域為(
3
，1+
3
2
]．
點評：本題主要考查三角函數的化簡和余弦定理的應用．屬中檔題．求三角函數值域時一定多注意自變量x的取值范圍．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=
π
3
時，取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）對任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，試求實數m的取值范圍；
（3）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有g（x）≥F（x），則稱直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據上圖，試推測曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當的說明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函數，g（x）=x-b
x
在（0，1）為減函數．
（1）求b的值；
（2）設函數φ（x）=2ax-
1
x2
是區間（0，1]上的增函數，且對于（0，1]內的任意兩個變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面積S．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
②設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數M；
（2）如果對任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

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同步練習冊答案
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