Question

【題目】已知函數(shù)相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，若將的圖像先向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得的函數(shù)為奇函數(shù).

（1）求的解析式，并求的對(duì)稱(chēng)中心；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），對(duì)稱(chēng)中心為：，（2）或.

【解析】試題分析：（1）相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為半周期,由,可得，按三角函數(shù)的平移變換,得表達(dá)式,函數(shù)為奇函數(shù),得值,且過(guò)點(diǎn)得值,求出表達(dá)式后由性質(zhì)可得對(duì)稱(chēng)中心；（2）由得的范圍,將利用換元法換元,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程根的分布問(wèn)題,利用判別式得不等式解得取值范圍.

試題解析：

（1）由條件得：，即,則，

又為奇函數(shù)，令，，，，

由，得對(duì)稱(chēng)中心為：

（2）,又有（1）知：，則， 的函數(shù)值從0遞增到1，又從1遞減回0.令則由原命題得：在上僅有一個(gè)實(shí)根.

令，

則需或，

解得：或.