Question

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₃=9，又a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，++…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S₃=9，得a₂=3，由a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數(shù)列，解得d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由=＜=，利用裂項(xiàng)求和法能夠證明當(dāng)n≥2時(shí)，++…+＜．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₃=9，∴a₂=3，
∴a₁+2=3-d+2=5-d，
a₂+3=6，a₃+7=3+d+7=10+d，
∵a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數(shù)列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
a_n=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵=
＜==，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，++…+
＜1+
=1+＜1+=．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．