Question

已知拋物線的焦點為F₂，點F₁與F₂關于坐標原點對稱，直線m垂直于軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q，且.

（Ⅰ）求點T的橫坐標；

（Ⅱ）若橢圓C以F₁,F₂為焦點，且F₁,F₂及橢圓短軸的一個端點圍成的三角形面積為1.

① 求橢圓C的標準方程；

② 過點F₂作直線l與橢圓C交于A,B兩點，設，若的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；

（Ⅱ）（ⅰ；（ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意得，，設，

則，.

由，

得即，①                       3分

又在拋物線上，則，②

聯立①、②易得                                      5分

（Ⅱ）（ⅰ）設橢圓的半焦距為，由題意得，

設橢圓的標準方程為，

由，解得                                    6分

從而                                   

故橢圓的標準方程為                             7分

（ⅱ）方法一：

容易驗證直線的斜率不為0，設直線的方程為

將直線的方程代入中得：.      8分

設，則由根與系數的關系，

可得：      ⑤

        ⑥                              9分

因為，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以                             11分

因為，所以，

又，所以，

故

，

令，因為 所以，即，

所以.

而，所以. 

所以.                    14分

方法二：

1）當直線的斜率不存在時，即時，，，

又，所以            8分

2）當直線的斜率存在時，即時，設直線的方程為

由得

設，顯然，則由根與系數的關系，

可得：，                    9分

         ⑤

   ⑥

因為，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得                   10分

因為，所以，

又，

故

       11分

令，因為 所以，即，

所以.

所以                    13分

綜上所述：.                     14分

考點：本題主要考查拋物線的幾何性質，橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，平面向量的坐標運算。

點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，注意明確焦點軸和a,b,c的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題解法較多，對學生的復雜式子變形能力要求較高。