Question

（本題滿分12分）. 已知函數

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；

（2）若對都有成立，試求實數a的取值范圍；

（3）記，當a=1時，函數在區間上有兩個零點，求實數b的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)的單調遞增區間是（2，+）,單調遞減區間（0,2）；

（2）a的取值范圍(0, )；(3) 的取值范圍是.

【解析】(1)由題意可知據此可建立關于a的方程求出a的值，再根據導數大（小）于零，來求函數f(x)的單調增區間或減區間.

(2)本小題的實質是都有成立,即,然后利用導數研究f(x)在上單調性求出f(x)的最小值，轉化為關于a的不等式求出a的范圍.

（3）當=1時，=，(x>0)，然后利用導數研究其單調性和極值，畫出草圖，從圖象上分析函數f(x)的圖像與x軸有兩個個交點時，應滿足的條件,從而得出b的取值范圍.

(1) 直線的斜率為1.

函數的定義域為，，

所以，解得                         ………2分

 所以,

，得x>2; 得0<x<2

所以f(x)的單調遞增區間是（2，+）,單調遞減區間（0,2）     ………4分

（2）==，，

得，得

所以f(x)的單調遞增區間是（，+）,單調遞減區間（0, ）

當x=時， 取極小值，也就是最小值=           ………6分

 對都有成立，∴>2(

>2(,………8分

∴,  ,.實數a的取值范圍(0, )           ………9分

(3) 當=1時，=，(x>0)

 =，由>0得x>1, 由<0得0<x<1.

所以的單調遞增區間是（1，+）,單調遞減區間（0, 1）

x=1時取得極小值. ………10分

因為函數在區間上有兩個零點，所以……………11分

解得.

所以的取值范圍是.                         ……………12分