Question

已知在平面直角坐標系xoy中，圓C經過函數f（x）=

1

3

x³+x²-3x-9（x∈R）的圖象與兩坐標軸的交點，C為圓心．
（1）求圓C的方程；
（2）在直線l：2x+y+19=0上有一個動點P，過點P作圓C的兩條切線，設切點分別為M，N，
求四邊形PMCN面積的最小值及取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

（1）由（x）=

1

3

x³+x²-3x-9=0，得

1

3

（x+3）²（x-3）=0
解之得x₁=-3，x₂=3．
再由x=0，得f（0）=-9
∴函數圖象與兩坐標軸有三個交點分別是（3，0），（-3，0），（0，-9）---（3分）
設經過該三點圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
將三點坐標代入，解得：D=0，E=8，F=-9，
所以圓的方程是：x²+y²+8y-9=0，--------（8分）
（2）由題意，得：S_PMCN=5PM，因此要求面積最小值即求PM的最小值，
而PM=

PC2-r2

，
∵PC最小值為點C到直線l的距離，即PC_min=

|-4+19|

5

=3

5

，-------10
∴PM_min=

45-25

=2

5

，所以四邊形PMCN面積的最小值是10

5

．-（12分）．
此時PC的方程為x-2y-8=0，與直線l聯解可得得P（-6，-7）---（14分）．