Question

設p：關于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函數y=

ax2-x+a

的定義域為R．若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據指數函數的單調性求得命題p為真時a的取值范圍；利用

a＞ △≤0

求出命題q為真時a的范圍，由復合命題真值表知：若p∨q是真命題，p∧q是假命題，則命題p、q一真一假，
分p真q假和q真p假兩種情況求出a的范圍，再求并集．

解答：解：∵關于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1；
故命題p為真時，0＜a＜1；
∵函數y=

ax2-x+a

的定義域為R，
∴

a＞0 △=1-4a2≤0

⇒a≥

1

2

，
由復合命題真值表知：若p∨q是真命題，p∧q是假命題，則命題p、q一真一假，
當p真q假時，則

0＜a＜1 a＜ 1 2

⇒0＜a＜

1

2

；
當q真p假時，則

a≥1或a≤0 a≥ 1 2

⇒a≥1，
綜上實數a的取值范圍是（0，

1

2

）∪[1，+∞）．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了指數函數的單調性及一元二次不等式恒成立的條件，解題的關鍵是求出組成復合命題的簡單命題為真時a的范圍．