Question

如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的
直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，
（）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

Answer 1

(Ⅰ)． …………………6分
(Ⅱ)滿足條件的點P的軌跡方程為或．…………………14分

(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：， ……………2分
∵，∴，
又得   ∴     ………………4分
∴，∴所求橢圓C的方程為． …………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為
則，, 由－4得－，
∴點P的軌跡方程為     …………………8分
設點B關于P的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質可得：，
解得：，…………………10分
∵點在橢圓上，
∴，
整理得解得或 …………………12分
∴點P的軌跡方程為或，經檢驗和都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．…………………14分