Question

某射手進(jìn)行射擊練習(xí)，每次射出一發(fā)子彈，每射擊5發(fā)算一組，一旦命中就停止，并進(jìn)入下一組練習(xí)，否則一直打完5發(fā)子彈才能進(jìn)入下一組練習(xí)．已知他每射擊一次的命中率為0.8，且每次射擊命中與否互不影響．
（Ⅰ）求一組練習(xí)中所耗用子彈數(shù)ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求在完成連續(xù)兩組練習(xí)后，恰好共耗用了4發(fā)子彈的概率．

Answer 1

分析：（I） 先確定一組練習(xí)中所耗用子彈數(shù)ξ 的取值，進(jìn)而可得一組練習(xí)中所耗用子彈數(shù)ξ的分布列，從而可求ξ的數(shù)學(xué)期望；
（II）完成連續(xù)兩組練習(xí)共耗用4發(fā)子彈，共有如下幾種情況：第一組練習(xí)用了1發(fā)而第二組練習(xí)用3發(fā)；第一組練習(xí)用2發(fā)，第二組用2發(fā)；第一組練習(xí)用3發(fā)，第二組練習(xí)用1發(fā)．由于每次射擊命中與否不影響，從而可求概率．

解答：解：（I） 由題意，一組練習(xí)中所耗用子彈數(shù)ξ 的取值為1，2，3，4，5
P（ξ=1）=0.8，P（ξ=2）=0.2×0.8=0.16，P（ξ=3）=0.2²×0.8=0.032，P（ξ=4）=0.2³×0.8=0.0064，P（ξ=5）=0.2⁴×0.8=0.00128
∴Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.0064+5×0.00128=1.248；
（II）完成連續(xù)兩組練習(xí)共耗用4發(fā)子彈，共有如下幾種情況：第一組練習(xí)用了1發(fā)而第二組練習(xí)用3發(fā)；第一組練習(xí)用2發(fā)，第二組用2發(fā)；第一組練習(xí)用3發(fā)，第二組練習(xí)用1發(fā)．由于每次射擊命中與否不影響，故所求概率P為
P=P（ξ=1）P（ξ=3）+P（ξ=2）P（ξ=2）+P（ξ=3）P（ξ=1）
  0.8×0.2²×0.8+0.2×0.8×0.2×0.8+0.2²×0.8×0.8
×0.032+0.16×0.16+0.032×0.8=0.0768

點評：本題以實際問題為載體，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，考查概率，關(guān)鍵是確定一組練習(xí)中所耗用子彈數(shù)ξ 的取值．