Question

13、已知空間四邊形ABCD的對角線AC、BD，點E、F、G、H、M、N分別是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中點．求證：三線段EG、FH、MN交于一點且被該點平分．

Answer 1

分析：此題由中點很容易得到四邊形EFGH與四邊形MFNH為平行四邊形，EG、FH、MN為它們的對角線，且FH為公用的對角線，所以EG、FH、MN交于它們的中點，即被該點平分．

解答：證明：如圖所示，
連接EF、FG、GH、HE．
∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，
∴EF∥AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，同理，EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
設EG∩FH=O，
則O平分EG、FH．
同理，四邊形MFNH是平行四邊形，
設MN∩FH=O′，則O′平分MN、FH．
∵點O、O′都平分線段FH，
∴點O與點O′重合，
∴MN過EG和FH的交點，即三線段EG、FH、MN交于一點且被該點平分．

點評：此題也可以從平面角度觀察入手，在結合四邊形的形狀定位交點．根據平面性質的公理2可以知道：FH平面EFGH與平面MFNH的交線，而EG、MN分別在這兩個平面內，所以它們的交點必在交線上．在通過觀察，發現四邊形EFGH與四邊形MFNH為平行四邊形，進一步可知，平分點即為中點．